防衛医科大学校
2013年 医学部 第4問
4
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$X_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$,$X_2=\left( \begin{array}{cc}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{array} \right)$,
\[ \begin{array}{r}
X_n=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{9}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-1}-\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-2}+\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right) \\
(n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)
\end{array} \]
で定義される$2$次の正方行列の列がある.このとき,以下の問に答えよ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right)$,$C=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right)$,$P=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$とする.$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ.
(2) $C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc} \alpha_n & \beta_n \\ \gamma_n & \delta_n \end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ.
(3) $X_n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し,存在する場合はその値を求めよ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right)$,$C=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right)$,$P=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$とする.$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ.
(2) $C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc} \alpha_n & \beta_n \\ \gamma_n & \delta_n \end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ.
(3) $X_n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し,存在する場合はその値を求めよ.
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