獨協医科大学
2015年 医学部 第1問
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![次の問いに答えなさい.(1)定数aを正の実数とする.関数f(θ)=4sin2θ+6cos^2θ+4a(sinθ+2cosθ)+a^2+1の0≦θ≦πにおける最大値をM,最小値をmとする.t=sinθ+2cosθとおく.f(θ)をtを用いて表すとf(θ)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ]である.M=a^2+[ウ]\sqrt{[エ]}a+[オ]であり,これを与えるθの値をθ_0とすると,tanθ_0=\frac{[カ]}{[キ]}である.また,M-m=14となるaの値は,a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}である.(2)定数mを正の整数とする.xy平面上に2点A(21,0),B(0,m)がある.点(1,0)と直線ABとの距離をdとするとd=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}}である.dが有理数となるようなmの値は全部で[ソ]個あり,そのうちmの値が最大のものはm=[タチツ]である.また,dが整数となるとき,m=[テト],d=[ナニ]である.](./thumb/101/2273/2015_1.png)
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次の問いに答えなさい.
(1) 定数$a$を正の実数とする.関数 \[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \] の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$,最小値を$m$とする.
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく.$f(\theta)$を$t$を用いて表すと \[ f(\theta)=\fbox{ア}t^2+4at+a^2-\fbox{イ} \] である.
$M=a^2+\fbox{ウ} \sqrt{\fbox{エ}}a+\fbox{オ}$であり,これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると,$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$である.
また,$M-m=14$となる$a$の値は,$a=\sqrt{\fbox{ク}}-\sqrt{\fbox{ケ}}$である.
(2) 定数$m$を正の整数とする.
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ m)$がある.点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると \[ d=\frac{\fbox{コサ}m}{\sqrt{m^2+\fbox{シスセ}}} \] である.
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$\fbox{ソ}$個あり,そのうち$m$の値が最大のものは$m=\fbox{タチツ}$である.
また,$d$が整数となるとき,$m=\fbox{テト}$,$d=\fbox{ナニ}$である.
(1) 定数$a$を正の実数とする.関数 \[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \] の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$,最小値を$m$とする.
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく.$f(\theta)$を$t$を用いて表すと \[ f(\theta)=\fbox{ア}t^2+4at+a^2-\fbox{イ} \] である.
$M=a^2+\fbox{ウ} \sqrt{\fbox{エ}}a+\fbox{オ}$であり,これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると,$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$である.
また,$M-m=14$となる$a$の値は,$a=\sqrt{\fbox{ク}}-\sqrt{\fbox{ケ}}$である.
(2) 定数$m$を正の整数とする.
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ m)$がある.点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると \[ d=\frac{\fbox{コサ}m}{\sqrt{m^2+\fbox{シスセ}}} \] である.
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$\fbox{ソ}$個あり,そのうち$m$の値が最大のものは$m=\fbox{タチツ}$である.
また,$d$が整数となるとき,$m=\fbox{テト}$,$d=\fbox{ナニ}$である.
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