名古屋大学
2013年 理系 第4問
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![半径1の円盤C_1が半径2の円盤C_2に貼り付けられており,2つの円盤の中心は一致する.C_2の周上にある定点をAとする.図のように,時刻t=0においてC_1はO(0,0)でx軸に接し,Aは座標(0,-1)の位置にある.2つの円盤は一体となり,C_1はx軸上をすべることなく転がっていく.時刻tでC_1の中心が点(t,1)にあるように転がるとき,0≦t≦2πにおいてAが描く曲線をCとする.(1)時刻tにおけるAの座標を(x(t),y(t))で表す.(x(t),y(t))を求めよ.(2)x(t)とy(t)のtに関する増減を調べ,x(t)あるいはy(t)が最大値または最小値をとるときのAの座標を全て求めよ.(3)Cとx軸で囲まれた図形の面積を求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/411/973/2013_4.png)
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半径1の円盤$C_1$が半径2の円盤$C_2$に貼り付けられており,2つの円盤の中心は一致する.$C_2$の周上にある定点を$\mathrm{A}$とする.図のように,時刻$t=0$において$C_1$は$\mathrm{O}(0,\ 0)$で$x$軸に接し,$\mathrm{A}$は座標$(0,\ -1)$の位置にある.2つの円盤は一体となり,$C_1$は$x$軸上をすべることなく転がっていく.時刻$t$で$C_1$の中心が点$(t,\ 1)$にあるように転がるとき,$0 \leqq t \leqq 2\pi$において$\mathrm{A}$が描く曲線を$C$とする.
(1) 時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),\ y(t))$で表す.$(x(t),\ y(t))$を求めよ.
(2) $x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ,$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ.
(3) $C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ. \imgc{411_973_2013_1}
(1) 時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),\ y(t))$で表す.$(x(t),\ y(t))$を求めよ.
(2) $x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ,$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ.
(3) $C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ. \imgc{411_973_2013_1}
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