長崎大学
2016年 教育・薬学部 第2問
2
![1辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHがある.下の図1のように,2辺BC,CD上に,BS=CT=x(0≦x≦2)を満たす点S,Tをとる.このとき,三角形ESTの面積の最大値と最小値を求めたい.以下の問いに答えよ.(プレビューでは図は省略します)(1)上の図2を参考にして,三角形OPQにおいてベクトルOP=ベクトルp,ベクトルOQ=ベクトルqとおくとき,三角形OPQの面積は1/2\sqrt{|ベクトルp|^2|ベクトルq|^2-(ベクトルp・ベクトルq)^2}と表されることを証明せよ.(2)ベクトルEF=ベクトルa,ベクトルEH=ベクトルb,ベクトルEA=ベクトルcとおく.立方体の1辺の長さが2であることに注意して,ベクトルES,ベクトルETをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcおよびxを用いて表せ.また,|ベクトルES|^2,|ベクトルET|^2を,それぞれxの式として表せ.さらに,ベクトルESとベクトルETの内積ベクトルES・ベクトルETは,xによらない一定の値になることを示せ.(3)上の(1)を利用して三角形ESTの面積f(x)を求めよ.(4)0≦x≦2の範囲で,f(x)の最大値と最小値を求めよ.また,そのときのxの値も答えよ.](./thumb/713/2946/2016_2.png)
2
$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある.下の図$1$のように,$2$辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$上に,$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x \ \ (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい.以下の問いに答えよ.
\imgc{713_1974_2016_1}
(1) 上の図$2$を参考にして,三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \] と表されることを証明せよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく.立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を,それぞれ$x$の式として表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は,$x$によらない一定の値になることを示せ.
(3) 上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ.
(4) $0 \leqq x \leqq 2$の範囲で,$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$x$の値も答えよ.
(1) 上の図$2$を参考にして,三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は \[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \] と表されることを証明せよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく.立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を,それぞれ$x$の式として表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は,$x$によらない一定の値になることを示せ.
(3) 上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ.
(4) $0 \leqq x \leqq 2$の範囲で,$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$x$の値も答えよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/434/3193/2016_3s.png)
![](./thumb/457/2645/2016_1s.png)
![](./thumb/503/2175/2016_3s.png)
![](./thumb/100/767/2016_14s.png)
![](./thumb/118/1352/2016_4s.png)
![](./thumb/181/2218/2016_4s.png)
![](./thumb/336/916/2016_2s.png)
![](./thumb/377/1002/2016_3s.png)
![](./thumb/665/2847/2016_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。