山梨大学
2011年 教育人間科学・生命環境(生命工以外) 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) 実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする.このとき \[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \] を求めよ.
(2) $\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ.
(3) $0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ.また,定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ.
(4) $A$を$2$次正方行列とする.$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.
(1) 実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする.このとき \[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \] を求めよ.
(2) $\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ.
(3) $0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ.また,定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ.
(4) $A$を$2$次正方行列とする.$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.
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