慶應義塾大学
2016年 環境情報学部 第5問
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実数$x$に対して,$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする.
(1) 数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき,$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$\fbox{$70$}\fbox{$71$}$個である.また,$a_n=10$と最初になるのは$n=\fbox{$72$}\fbox{$73$}$のときである.さらに,$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき,$S_{99}=\fbox{$74$}\fbox{$75$}\fbox{$76$}$である.
(2) 数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき,$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$\fbox{$77$}\fbox{$78$}$個である.また,$b_n=10$と最初になるのは$n=\fbox{$79$}\fbox{$80$}$のときである.さらに,$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき,$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である.
(1) 数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき,$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$\fbox{$70$}\fbox{$71$}$個である.また,$a_n=10$と最初になるのは$n=\fbox{$72$}\fbox{$73$}$のときである.さらに,$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき,$S_{99}=\fbox{$74$}\fbox{$75$}\fbox{$76$}$である.
(2) 数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき,$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$\fbox{$77$}\fbox{$78$}$個である.また,$b_n=10$と最初になるのは$n=\fbox{$79$}\fbox{$80$}$のときである.さらに,$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき,$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である.
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