金沢大学
2015年 理系 第4問
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![a>1とする.無限等比級数a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+・・・が収束するとき,その和をS(x)とする.次の問いに答えよ.(1)この無限等比級数が収束するような実数xの値の範囲を求めよ.また,そのときのS(x)を求めよ.(2)xが(1)で求めた範囲を動くとき,S(x)のとり得る値の範囲を求めよ.(3)I(a)=∫_0^{1/a}S(x)dxとおくとき,極限値\lim_{a→∞}I(a)を求めよ.](./thumb/355/1277/2015_4.png)
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$a>1$とする.無限等比級数
\[ a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+\cdots \]
が収束するとき,その和を$S(x)$とする.次の問いに答えよ.
(1) この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ.また,そのときの$S(x)$を求めよ.
(2) $x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) $\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ.
(1) この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ.また,そのときの$S(x)$を求めよ.
(2) $x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) $\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ.
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