新潟大学
2015年 文系 第2問
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![△ABCの外心をOとし,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcは|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0をみたすとする.次の問いに答えよ.(1)100+3ベクトルa・ベクトルb+5ベクトルc・ベクトルa=0が成り立つことを示せ.(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・ベクトルaを求めよ.(3)△ABCの重心をGとするとき,|ベクトルOG|の値を求めよ.](./thumb/337/2365/2015_2.png)
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$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$は
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたすとする.次の問いに答えよ.
(1) $100+3 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=0$が成り立つことを示せ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ.
(1) $100+3 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=0$が成り立つことを示せ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ.
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