鹿児島大学
2016年 理（生化）・医（理療）・農・水産・共同獣医 第3問
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数列$\{a_n\}$を$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定める．また$\alpha$を$\displaystyle \alpha=1+\frac{1}{\alpha}$を満たす正の実数とする．次の各問いに答えよ．
(1) 数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$b_n \geqq 1$となることを示せ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_{n+1|-\alpha} \leqq \frac{1}{\alpha} |b_n-\alpha|$となることを示せ．
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_n-\alpha| \leqq \frac{1}{\alpha^n}$となることを示せ．
(1) 数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$で定める．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$b_n \geqq 1$となることを示せ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_{n+1|-\alpha} \leqq \frac{1}{\alpha} |b_n-\alpha|$となることを示せ．
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$\displaystyle |b_n-\alpha| \leqq \frac{1}{\alpha^n}$となることを示せ．
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