東京工業大学
2015年 理系 第4問
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![xy平面上を運動する点Pの時刻t(t>0)における座標(x,y)がx=t^2cost,y=t^2sintで表されている.原点をOとし,時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする.(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき,極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ.(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t>0)のうち,最も小さいものをt_1,次に小さいものをt_2とする.このとき,不等式t_2-t_1<πを示せ.](./thumb/185/1164/2015_4.png)
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$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t \ \ (t>0)$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=t^2 \cos t,\quad y=t^2 \sin t \]
で表されている.原点を$\mathrm{O}$とし,時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき,極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t \ \ (t>0)$のうち,最も小さいものを$t_1$,次に小さいものを$t_2$とする.このとき,不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき,極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t \ \ (t>0)$のうち,最も小さいものを$t_1$,次に小さいものを$t_2$とする.このとき,不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ.
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