和歌山県立医科大学
2015年 医学部 第4問
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![あるバクテリアをある条件の下で培養した場合,生存している1個が,1時間後には1回分裂して2個ともに生存しているか,あるいは死滅しているかであり,2個とも生存している確率がp,死滅している確率が1-pであるという.このバクテリアがこの条件の下で最初1個生存していたとき,n時間後に1個以上生存している確率をP_nとおく.ただし,nは自然数とする.(1)P_2,P_3をそれぞれpの式で表せ.(2)P_{n+1}をpとP_nの式で表せ.(3)p=1/3のときの\lim_{n→∞}P_nを求めよ.(4)aを2より大きな実数とする.p=\frac{a-1}{a},Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}としたとき,0<Q_{n+1}<Q_nであることを示せ.(5)pが(4)と同じときの\lim_{n→∞}P_nを求めよ.](./thumb/606/2292/2015_4.png)
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あるバクテリアをある条件の下で培養した場合,生存している$1$個が,$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか,あるいは死滅しているかであり,$2$個とも生存している確率が$p$,死滅している確率が$1-p$であるという.このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき,$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく.ただし,$n$は自然数とする.
(1) $P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ.
(2) $P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ.
(3) $\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
(4) $a$を$2$より大きな実数とする.$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$,$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき,$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ.
(5) $p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
(1) $P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ.
(2) $P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ.
(3) $\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
(4) $a$を$2$より大きな実数とする.$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$,$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき,$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ.
(5) $p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
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