宇都宮大学
2014年 文系 第5問
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![α≠0,β≠0として,関数f_n(x)(n=1,2,・・・)を\begin{array}{l}f_1(x)=a_1sinαx+b_1cosαx\f_{n+1}(x)=β(f_n(x)+{f_n}´(x))\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}と定める.ただし,a_1,b_1,α,βは実数である.このとき,次の問いに答えよ.(1)f_n(x)はf_n(x)=a_nsinαx+b_ncosαx(a_n,b_nは実数)の形で表されることを示せ.(2)(1)におけるa_n,b_n(n=1,2,・・・)について,行列Pを用いて(\begin{array}{c}a_{n+1}\b_{n+1}\end{array})=P(\begin{array}{c}a_{n}\b_{n}\end{array})と表すとき,行列Pを求めよ.(3)a_1=0,b_1=2,α=√3,β=1/2とするとき,f_{99}(x)を求めよ.](./thumb/95/2200/2014_5.png)
5
$\alpha \neq 0$,$\beta \neq 0$として,関数$f_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\
f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \]
と定める.ただし,$a_1$,$b_1$,$\alpha$,$\beta$は実数である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$($a_n,\ b_n$は実数)の形で表されることを示せ.
(2) $(1)$における$a_n,\ b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$について,行列$P$を用いて \[ \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \] と表すとき,行列$P$を求めよ.
(3) $a_1=0$,$b_1=2$,$\alpha=\sqrt{3}$,$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき,$f_{99}(x)$を求めよ.
(1) $f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$($a_n,\ b_n$は実数)の形で表されることを示せ.
(2) $(1)$における$a_n,\ b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$について,行列$P$を用いて \[ \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \] と表すとき,行列$P$を求めよ.
(3) $a_1=0$,$b_1=2$,$\alpha=\sqrt{3}$,$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき,$f_{99}(x)$を求めよ.
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