高知大学
2016年 理学部・医学部 第4問
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自然数$n$と多項式$f(x)$に対して,$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき,$a_3 \neq 0$を示せ.
(2) $f(x)$が$2$次式で$a_1=1$,$a_2=0$,$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき,一般項$a_n$を求めよ.
(3) $f(x)$を$k$次式とする.$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき,任意の自然数$n$に対して,$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(4) 任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ.
(1) $f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき,$a_3 \neq 0$を示せ.
(2) $f(x)$が$2$次式で$a_1=1$,$a_2=0$,$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき,一般項$a_n$を求めよ.
(3) $f(x)$を$k$次式とする.$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき,任意の自然数$n$に対して,$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(4) 任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ.
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