高知大学
2015年 理学部・医学部 第1問
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![次の問いに答えよ.(1)|x+1|<1/2,|y-2|<1/3のとき|-8x^3+12xy+3y^2+4|<10を示せ.次の3題(2)~(4)から1題選択して解答せよ.(2)12個のサイコロを同時に投げたとき,1の目がちょうどn個出る確率をP_nとする.P_nはn=2のとき最大になることを示せ.(3)aを正の整数とし,p,qを素数とする.このとき,2次方程式ax^2-px+q=0の2解が整数となるような組(a,p,q)をすべて求めよ.(4)△ABCの辺BC上に,異なる2点X,Yを,BXYCの順に並ぶように選ぶ.Xを通りABに平行な直線と,Yを通りACに平行な直線との交点をPとし,直線APと辺BCとの交点をZとする.このときCY/BX=YZ/XZとなることを示せ.](./thumb/674/2898/2015_1.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき \[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \] を示せ.
次の$3$題$(2)$~$(4)$から$1$題選択して解答せよ.
(2) $12$個のサイコロを同時に投げたとき,$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする.$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ.
(3) $a$を正の整数とし,$p,\ q$を素数とする.このとき,$2$次方程式 \[ ax^2-px+q=0 \] の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に,異なる$2$点$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を,$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ.$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と,$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする.このとき \[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \] となることを示せ.
(1) $\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき \[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \] を示せ.
次の$3$題$(2)$~$(4)$から$1$題選択して解答せよ.
(2) $12$個のサイコロを同時に投げたとき,$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする.$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ.
(3) $a$を正の整数とし,$p,\ q$を素数とする.このとき,$2$次方程式 \[ ax^2-px+q=0 \] の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に,異なる$2$点$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を,$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ.$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と,$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする.このとき \[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \] となることを示せ.
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コメント(2件)
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