三重大学
2010年 医学部 第4問
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![Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ.(1)p,qを実数としq≠0とする.\biggl(\begin{array}{cc}p&q\\0&p\end{array}\biggr)X=X\biggl(\begin{array}{cc}p&q\\0&p\end{array}\biggr)ならば,XはX=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\biggr)の形に表せることを示せ.(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\biggr)のとき,自然数nに対しX^n=\biggl(\begin{array}{cc}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{array}\biggr)となることを数学的帰納法により示せ.ただしa^0=1とする.(3)m,nを自然数とする.Xの各成分は0以上の整数で,さらにX^{n+1}-X^n=\biggl(\begin{array}{cc}2^{m+1}&2^{50}\\0&2^{m+1}\end{array}\biggr)を満たすものとする.このような行列Xが存在するような組(m,n)をすべて求めよ.](./thumb/457/2645/2010_4.png)
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$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ.
(1) $p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする.$\biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ 0 & p \end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ 0 & p \end{array} \biggr)$ならば,$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ.
(2) $X=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \biggr)$のとき,自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc} a^n & na^{n-1}b \\ 0 & a^n \end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ.ただし$a^0=1$とする.
(3) $m,\ n$を自然数とする.$X$の各成分は0以上の整数で,さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc} 2^{m+1} & 2^{50} \\ 0 & 2^{m+1} \end{array} \biggr)$を満たすものとする.このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(1) $p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする.$\biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ 0 & p \end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ 0 & p \end{array} \biggr)$ならば,$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ.
(2) $X=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \biggr)$のとき,自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc} a^n & na^{n-1}b \\ 0 & a^n \end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ.ただし$a^0=1$とする.
(3) $m,\ n$を自然数とする.$X$の各成分は0以上の整数で,さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc} 2^{m+1} & 2^{50} \\ 0 & 2^{m+1} \end{array} \biggr)$を満たすものとする.このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ.
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