首都大学東京
2012年 都市教養(文系) 第4問
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内角がすべて$180^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$に対し,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく.$\mathrm{G}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} +\overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} + \overrightarrow{\mathrm{GD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする.$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \quad (s,\ t \text{は正の実数})$と表すとき,以下の問いに答えなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい.
(2) 点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき,$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい.
(3) $s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき,線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい.
(4) $s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき,$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい.
(2) 点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき,$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい.
(3) $s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき,線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい.
(4) $s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき,$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい.
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