$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，$x$の$4$次関数$f(x)$を \[ f(x)=x^4+2ax^3+6bx^2+4cx+d \] とする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．さらに，$\displaystyle \alpha=1+\sqrt{\frac{5}{6}},\ \beta=1-\sqrt{\frac{5}{6}}$とおくとき，$f(x)$と$C$は次の$3$つの条件$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$を満たすものとする．
(ⅰ) 点$(\alpha,\ f(\alpha))$と点$(\beta,\ f(\beta))$は共に$C$の変曲点である．
(ⅱ) $f(x)$は$x=1$で極値をもつ．
(ⅲ) $f(2)=0$
次の問いに答えよ．
(1) $a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2) $C$を$x$軸方向に$-1$だけ平行移動した曲線を$y=g(x)$とおく．$g(x)$を求めよ．
(3) $x$軸と$C$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．