埼玉大学
2014年 理学部 第4問
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![実数a,bはa>b>0およびa^2-b^2=2abを満たすとする.xy平面上で(acosθ,bsinθ)(0≦θ≦2π)によって媒介変数表示された楕円をCとする.点P(bcost,asint)(0<t<π/2)とC上の動点Q(acosθ,bsinθ)に対し,f(θ)=|ベクトルPQ|^2とおく.(1)f´(θ)=0であるとき,sin2θ=sin(θ-t)が成り立つことを示せ.(2)f´(θ)=0となるθをtを用いて表せ.(3)f´(θ)=0となるθがちょうど3つとなるtの値を求めよ.(4)tを(3)で求めた値とする.このとき,f´(θ)=0となる各θに対応するC上の3点を頂点とする三角形の面積をa,bを用いて表せ.](./thumb/118/1351/2014_4.png)
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実数$a,\ b$は$a>b>0$および$a^2-b^2=2ab$を満たすとする.$xy$平面上で$(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ \ \ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$によって媒介変数表示された楕円を$C$とする.点$\displaystyle \mathrm{P}(b \cos t,\ a \sin t) \ \ \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$と$C$上の動点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$に対し,$f(\theta)=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$とおく.
(1) $f^\prime(\theta)=0$であるとき,$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ.
(2) $f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ.
(3) $f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ.
(4) $t$を$(3)$で求めた値とする.このとき,$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ.
(1) $f^\prime(\theta)=0$であるとき,$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ.
(2) $f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ.
(3) $f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ.
(4) $t$を$(3)$で求めた値とする.このとき,$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ.
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