横浜市立大学
2016年 医学部 第2問
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![n枚のカードの表(おもて)面に相異なる整数値が書かれている.ただし,どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない.はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている.ここから1枚ずつ好きなカードをめくっていき,書かれている数値がn枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる1人ゲームを考える.n枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合,次にめくるカードがないのでゲームは終了である.ゲームの勝敗は,最後にめくったカードに書かれていた数値がn枚のカードの中で最大であれば勝ち,そうでなければ負けとする.n未満の自然数kについて以下の戦略S_kを考える:はじめのk枚までは必ずめくり,そのk枚に書かれていた数値のうち最大のものをMとする.k+1枚目以降でMより大きな数が書かれたカードをめくったら,ただちにめくるのをやめる.戦略S_kにしたがった場合に,このゲームに勝つ確率をP_{n,k}とする.以下の問いに答えよ.(1)P_{3,1}を求めよ.(2)iをk+1以上,n以下の整数とする.戦略S_kにしたがった場合に,ちょうどi枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ.(3)nが十分に大きいとき,戦略S_kを使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう.nに対してどのくらいのkを用いるかによって勝てる確率は変わる.簡単にするため,n=3pの場合を考える.ただし,pは自然数である.このときk=pとして,極限値\lim_{p→∞}P_{n,k}を求めよ.](./thumb/308/2359/2016_2.png)
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$n$枚のカードの表(おもて)面に相異なる整数値が書かれている.ただし,どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない.
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている.ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき,書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える.$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合,次にめくるカードがないのでゲームは終了である.
ゲームの勝敗は,最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち,そうでなければ負けとする.
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える:
はじめの$k$枚までは必ずめくり,その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする.$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら,ただちにめくるのをやめる.
戦略$S_k$にしたがった場合に,このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $P_{3,1}$を求めよ.
(2) $i$を$k+1$以上,$n$以下の整数とする.戦略$S_k$にしたがった場合に,ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ.
(3) $n$が十分に大きいとき,戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう.$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる.簡単にするため,$n=3p$の場合を考える.ただし,$p$は自然数である.このとき$k=p$として,極限値 \[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \] を求めよ.
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている.ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき,書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える.$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合,次にめくるカードがないのでゲームは終了である.
ゲームの勝敗は,最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち,そうでなければ負けとする.
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える:
はじめの$k$枚までは必ずめくり,その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする.$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら,ただちにめくるのをやめる.
戦略$S_k$にしたがった場合に,このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $P_{3,1}$を求めよ.
(2) $i$を$k+1$以上,$n$以下の整数とする.戦略$S_k$にしたがった場合に,ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ.
(3) $n$が十分に大きいとき,戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう.$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる.簡単にするため,$n=3p$の場合を考える.ただし,$p$は自然数である.このとき$k=p$として,極限値 \[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \] を求めよ.
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