$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(3)${f}^\prime(x)$を$f(x)$を用いた式で表しなさい．

(4)$\displaystyle G(a)=\int_{-a}^a \frac{1-\{f(x)\}^2}{2} \, dx$とするとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty} G(a)$の値を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{e^x},\ g(x)=\frac{\cos x}{e^x}$とする．

(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$n$を正の整数とし，$x \geqq 0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle r_n(x)=e^x-\left( 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots +\frac{1}{n!}x^n \right)$とする．$r_n(x) \geqq 0$を$n$に関する数学的帰納法を使って示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^n e^{-x}=0$を示せ．
(3)$t \geqq 0$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^t x^n e^{-x} \, dx$とする．$\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t)$を求めよ．

次の一連の問いに答えなさい．

(1)自然数$m$に対して，$x>0$のとき$\displaystyle e^x>\frac{x^m}{m!}$であることを示しなさい．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}=0$を示しなさい．
(3)自然数$n$に対して$\displaystyle \Gamma_K(n)=\int_0^K x^{n-1}e^{-x} \, dx$とするとき，$\displaystyle \lim_{K \to \infty} \Gamma_K(n)$を求めなさい．

$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\displaystyle I_k=\int_0^{\log 2} (e^x-1)^k \, dx$とおく．

(1)$0 \leqq x \leqq \log 2$のとき，$\displaystyle 0 \leqq e^x-1 \leqq \frac{x}{\log 2}$が成り立つことを示せ．ただし，$e>2$であることを用いてよい．
(2)$I_k+I_{k+1}$を$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^n \frac{1}{n+1}=I_0+(-1)^n I_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{k+1}$を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_a^x \left( a+1-|t| \right) e^{-t} \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$x \geqq 0$と$x \leqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の極値と変曲点を求めよ．
(3)$x \geqq 1$のとき，$e^x>x^2$となることを示せ．また，$\displaystyle g(x)=\int_a^x f(t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\int_0^a |f(x)| \, dx$をみたす$a$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{\cos x}{1-\sin x} \qquad (ⅱ) y=(x+2) \sqrt{x^2+2x+5} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin (3x) \sin (5x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3+3x^2}{x^2+3x+2} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 {x}^5{e}^{x^3} \, dx$

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^2 |e^x-e| \, dx$

(2)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x^2} \, dx$

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\log t$，$\log 2t$とし，曲線$C$と直線$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．また，$\ell,\ m$の傾きをそれぞれ$\tan \alpha$，$\tan \beta$とする．ただし，$t>0$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha,\ \tan \beta$および$S$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$\beta-\alpha$が最大となるときの$t$の値を求めよ．

$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．

(1)$p(a)$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ．
(3)$t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5)$b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．