「e^x」について
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国立 和歌山大学 2015年 第4問関数$f(x)$と定数$a,\ b$が次の等式を満たしている．
\[ \int_0^x (x-t)f(t) \, dt=e^x+2e^{-x}-\frac{3}{2}x^2+ax+b \]
ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と定数$a,\ b$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
\[ \int_0^x (x-t)f(t) \, dt=e^x+2e^{-x}-\frac{3}{2}x^2+ax+b \]
ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と定数$a,\ b$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 名古屋大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とし，$t$を$t>e$となる実数とする．このとき，曲線$C:y=e^x$と直線$y=tx$は相異なる$2$点で交わるので，交点のうち$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}$，大きいものを$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}$とし，曲線$C$，$x$軸および$2$つの直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$および$2$つの直線$\mathrm{PR}$，$\mathrm{QR}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．必要ならば，$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい．
(1)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．必要ならば，$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,\ e)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^a)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．ただし，$a>1$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$x>0$のとき，不等式$1+x<e^x$を示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} ne^{-n^2}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n (2x^2-1)e^{-x^2} \, dx$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$1+x<e^x$を示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} ne^{-n^2}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n (2x^2-1)e^{-x^2} \, dx$を求めよ．
国立 筑波大学 2015年 第4問$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．
(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．
(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．
国立 宇都宮大学 2015年 第5問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
私立 獨協医科大学 2015年 第5問$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
私立 東京電機大学 2015年 第3問曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>1)$における接線を$\ell$とおく．$C$と$y$軸の共有点を$\mathrm{A}$，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．原点を$\mathrm{O}$とおき，三角形$\mathrm{AOQ}$の面積を$S(t)$とおく．$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(t)$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を求め，$S(t)$を$t$で表せ．
(3)$T(t)$を$t$で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to 1+0}\frac{T(t)}{S(t)}$を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を求め，$S(t)$を$t$で表せ．
(3)$T(t)$を$t$で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to 1+0}\frac{T(t)}{S(t)}$を求めよ．