「e^x」について
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公立 会津大学 2016年 第6問$n$を自然数とする．関数$f(x)=e^x \sin x$の$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ f^{(n)}(x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
\[ f^{(n)}(x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
公立 前橋工科大学 2016年 第3問関数$f(x)=x^2(2x^2-x-2)e^x$がある．次の問いに答えなさい．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．また，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$であることは断りなしに用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．$2$つの曲線$y=2x^4-x^3-2x^2$と$y=ae^{-x}$の共有点の数が$3$個であるための$a$の条件を求めなさい．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．また，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$であることは断りなしに用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．$2$つの曲線$y=2x^4-x^3-2x^2$と$y=ae^{-x}$の共有点の数が$3$個であるための$a$の条件を求めなさい．
国立 北海道大学 2015年 第1問$a$は実数とし，$2$つの曲線
\[ C_1:y=(x-1)e^x,\quad C_2:y=\frac{1}{2e}x^2+a \]
がある．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$上の点$(t,\ (t-1)e^t)$における$C_1$の接線が$C_2$に接するとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$a$の極小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=(x-1)e^x,\quad C_2:y=\frac{1}{2e}x^2+a \]
がある．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$上の点$(t,\ (t-1)e^t)$における$C_1$の接線が$C_2$に接するとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$a$の極小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 京都大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とするとき，$(a,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．
(2)$a_1=1$として，$n=1,\ 2,\ \cdots$について，$(a_n,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．
(1)$a$を実数とするとき，$(a,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．
(2)$a_1=1$として，$n=1,\ 2,\ \cdots$について，$(a_n,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第4問$a,\ b,\ p$は$a>0$，$b>0$，$p<0$を満たす実数とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=e^x,\quad C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,\ e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}(p+a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{b^2e^{2a}}{a}$を求めよ．
\[ C_1:y=e^x,\quad C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,\ e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}(p+a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{b^2e^{2a}}{a}$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分
\[ \int_0^{\log 3} \frac{dx}{e^x+5e^{-x}-2} \]
を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式
\[ \log x \geqq \frac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)} \]
が成り立つことを示せ．
(1)定積分
\[ \int_0^{\log 3} \frac{dx}{e^x+5e^{-x}-2} \]
を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式
\[ \log x \geqq \frac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)} \]
が成り立つことを示せ．
国立 香川大学 2015年 第4問$b$を$b>2 \sqrt{2}$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
国立 防衛医科大学校 2015年 第4問関数$\displaystyle f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}$，$\displaystyle \log f_2(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_1(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_3(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x f_2(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_4(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_3(t) \, dt$，$\cdots$，
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする．ただし，$\log$は自然対数である．また，
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．さらに，
$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，
$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$，
$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$
とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$f_k(x)$を積分を使わずに表せ（$k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）．
(2)$I_n$を$J$で表せ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
(3)$J$を$K$で表せ．
(4)$I_n$を求めよ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする．ただし，$\log$は自然対数である．また，
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．さらに，
$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，
$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$，
$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$
とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$f_k(x)$を積分を使わずに表せ（$k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）．
(2)$I_n$を$J$で表せ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
(3)$J$を$K$で表せ．
(4)$I_n$を求めよ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
国立 東京海洋大学 2015年 第5問関数$f(x)$はすべての実数$x$について
\[ f(x)=x+e^x \int_0^x e^{-t} f(t) \, dt \]
を満たす．
(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=2f(x)-x+1$が成り立つことを示せ．
(3)$g(x)=e^{-2x}f(x)$とする．$g^\prime(x)$を求めよ．
(4)$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=x+e^x \int_0^x e^{-t} f(t) \, dt \]
を満たす．
(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=2f(x)-x+1$が成り立つことを示せ．
(3)$g(x)=e^{-2x}f(x)$とする．$g^\prime(x)$を求めよ．
(4)$f(x)$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第3問$a$を定数，$e$を自然対数の底とし，$\displaystyle f(x)=(a-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．