関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x+2 \int_0^1 (t+e^x)f(t) \, dt$をみたしている．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=a,\ \int_0^1 xf(x) \, dx=b$とするとき，$f(x)$を$x,\ a,\ b$の式で表せ．

(2)$a,\ b$の値および$f(x)$を求めよ．

$2$つの曲線$y=e^x$と$y=a \sqrt{x}$の共有点が$1$個であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$と共有点の座標を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 次の関数の導関数を求めよ．

\mon[(1)] $y=e^{2-3x}$
\mon[(2)] $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}$

\mon[問2] 次の不定積分を求めよ．

\mon[(1)] $\displaystyle \int \log (1+2x) \, dx$
\mon[(2)] $\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$

次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int \sin \left( \frac{\pi}{4}+x \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} -x \right) \cos x \, dx$
(2)$\displaystyle \int \frac{x \log (x^2+1)}{x^2+1} \, dx$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2+3e^x+e^{2x}} \, dx$

座標平面上の曲線$y=e^x-1$を$C$とする．曲線$C$と2直線$y=0,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と2直線$y=2,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．ただし，$0<t<\log 3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1=S_2$となるときの$t$の値を求めよ．
(2)$S_1+S_2$が最小となるときの$t$の値を求めよ．

関数$y=(x-2)e^x$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面において，曲線$y=e^x$を$C$とし，点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$，点$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_1$とする．

点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$，点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$，点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする．
以下同様の操作を繰り返し，$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める．
また，各自然数$n$について，曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として，数列
\[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \]
を定める．次の各問に答えよ．


(1)$S_1$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)無限級数
\[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．

$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq a$をみたす$x$に対して
\[ 1+x \leqq e^x \leqq 1+\frac{e^a-1}{a}x \]
を示せ．
(2)$(1)$を用いて
\[ 1+a+\frac{a^2}{2}<e^a<1+\frac{a}{2}(e^a+1) \]
を示せ．
(3)$(2)$を用いて
\[ 2.64<e<2.78 \]
を示せ．