「e^x」について
タグ「e^x」の検索結果
（16ページ目：全169問中151問～160問を表示）
国立 福井大学 2010年 第4問曲線$C:y=e^x$上の点P$(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点をQとする．さらに，Qを通り$\ell$に直交する直線と$C$との交点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して定積分$\displaystyle \int_0^2 \left| \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a} \right| \, dx$の値を$S(a)$とおく．$a$が$0 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して定積分$\displaystyle \int_0^2 \left| \frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a} \right| \, dx$の値を$S(a)$とおく．$a$が$0 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最小値を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第3問曲線$C$を$y=e^x$とする．$C$上の点A$_0(0,\ 1)$における接線と$x$軸の交点をB$_1(b_1,\ 0)$とし，$C$上の点A$_1(b_1,\ e^{b_1})$における接線と$x$軸の交点をB$_2(b_2,\ 0)$とする．これをくりかえし，$C$上の点A$_n(b_n,\ e^{b_n})$における接線と$x$軸の交点をB$_{n+1}(b_{n+1},\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．
国立 東京学芸大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1+e^x}$について下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$がただ$1$つの極大値をもつことを示せ．また，そのときの$x$の値を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の整式で表せ．
(2)$f(\alpha)<1$を示せ．
(1)$f(x)$がただ$1$つの極大値をもつことを示せ．また，そのときの$x$の値を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の整式で表せ．
(2)$f(\alpha)<1$を示せ．
国立 防衛大学校 2010年 第5問実数$x$に対して，$t=e^x+e^{-x}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2)$e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3)$t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）
(1)$t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2)$e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3)$t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）
国立 山形大学 2010年 第3問次の問に答えよ．
(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．
(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．
国立 電気通信大学 2010年 第1問$n$を自然数とし，$x$を変数とする関数
\[ f_n(x)=(nx+n+1)e^x,\quad g_n(x)=(nx+n-1)e^{-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
\[ f_n(x)=(nx+n+1)e^x,\quad g_n(x)=(nx+n-1)e^{-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$g_n(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$x$軸と$y$軸および曲線$y=f_n(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$x$軸と$y$軸および曲線$y=g_n(x)$で囲まれた図形の面積$T_n$を求めよ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{S_n}$を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第4問次の問に答えよ．
(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．
(1)$e^x-1-xe^{\frac{\pi}{2}}>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}$と$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}$の大小を調べよ．
(3)$p$を$0<p<1$である定数とする．$x>0, x \neq 1$のとき$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1}$と$px^{\frac{p-1}{2}}$の大小を調べよ．
国立 新潟大学 2010年 第4問$\displaystyle F(x)=\int_0^x \sqrt{1+e^{2t}} \, dt$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$\sqrt{1+e^{2t}}=u$とおいて，$F(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \{ F(x)-e^x \}$を求めよ．
(1)$\sqrt{1+e^{2t}}=u$とおいて，$F(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \{ F(x)-e^x \}$を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第4問$xy$平面上に
\[ |ye^{2x|-6e^{x}-8} =-(e^x-2)(e^x-4) \]
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積$K$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
\[ |ye^{2x|-6e^{x}-8} =-(e^x-2)(e^x-4) \]
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積$K$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．