次の$[　]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．

$a$を実数とする．$f(x)=e^x |x-a|$について，以下の問いに答えよ．

(1)$a=0$のとき，関数$y=f(x) (-3 \leqq x \leqq 1)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$a$で表せ．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．

曲線$y=e^x$を$C$とする．点$\mathrm{Q}_1$を$x$軸上に取る．点$\mathrm{Q}_1$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_1$とする．$\ell_1$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_1$とする．点$\mathrm{P}_1$における$C$の接線を$\ell_1^\prime$とする．$\ell_1^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_2$とする．点$\mathrm{P}_2$における$C$の接線を$\ell_2^\prime$とする．$\ell_2^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_3$とする．これを続けて，$C$上の点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$を決める．$\mathrm{P}_1$の座標を$(a,\ e^a)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と直線$\ell_n^\prime$および$\ell_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$s_n$とするとき，無限級数$s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots$の和を求めよ．

$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-a)^2$と曲線$y=e^x$の共有点$\mathrm{P}(s,\ t)$において$2$曲線の接線が一致するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq a$のとき$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{e^x}$の最大値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3)関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)$n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．

関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle y = \frac{\cos x}{e^x} \ (x > 0)$の極大値を，大き方から順に
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の和を求めよ．

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sin x \cos x}$
(3)$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_{\log \pi}^{\log (2\pi)} e^x \sin (e^x) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x}(x+1) \, dx$
(7)$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \cos (4x) \, dx$
(8)$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$


\end{spacing}
\vspace*{-6mm}

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sin x \cos x}$
(3)$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_{\log \pi}^{\log (2\pi)} e^x \sin (e^x) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x}(x+1) \, dx$
(7)$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \cos (4x) \, dx$
(8)$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$


\end{spacing}
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