次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_0^\pi e^x \cos x \, dx$と$\displaystyle J=\int_0^\pi e^x \sin x \, dx$の値を求めよ．
(2)実数$a,\ b$が
\[ \int_0^\pi (a\cos x +b \sin x)^2 \, dx = 1 \]
をみたしながら動くとき
\[ \int_0^\pi (e^x-a\cos x-b \sin x)^2 \, dx \]
の最大値を求めよ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
\[ (\text{i}) f_0(x)=e^x,\quad (\text{ii}) f_n(x)=\int_0^x (n+t)f_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

$x>0$において関数
\[ f(x)=\sin (\log x) \]
を考える．\\
方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，
\[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \]
とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(1)不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ
\[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \]
とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4)区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．

$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)次の関数を微分せよ．

\mon[(i)] $y=\sin^3 2x$
\mon[(ii)] $\displaystyle y=\log \frac{e^x}{e^x+1}$

(2)次の不定積分を求めよ．

(3)$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \left( 1+\frac{2}{x} \right)^2 \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^2-1} \, dx$

(4)定積分$\displaystyle \int_{-1}^{\log 2} e^{|x|}e^{x} \, dx$を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right) \ (x>0)$の逆関数を求めよ．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x} \right)$の逆関数$h(x)$を求めよ．
(3)上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．

$x$の多項式$f(x)$は
\[ \int_{-1}^1 xf(x) \, dx=0,\quad f(1)=f(-1)=0 \]
を満たしているとする．

(1)このとき$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2f^\prime(x) \, dx=0$を示せ．
(2)さらに多項式$f(x)$は3次以下で$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)e^x \, dx=1$を満たしているとする．このような$f(x)$を求めよ．

正の整数$n$に対して，$\displaystyle S_n(x)=\int_0^x t^ne^{-t} \, dt$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$S_{n+1}(x)$を$n,\ x$および$S_n(x)$を用いて表せ．
(2)$m$を正の整数とする．$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^{\frac{x}{m+1}}>\frac{x}{m+1}$が成り立つことを示せ．また，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ．
(3)数学的帰納法を用いて，すべての正の整数$n$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}S_n(x)=n!$となることを示せ．

関数$f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(e^x+e^{-x})$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)=e^x-e^{-x}$とおく．関数$g(x)$は単調増加であることを示せ．
(2)$u=g(x)$とおくとき，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を$u$を用いて表せ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．