$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

$a>0$とする．$xy$平面において，曲線$y=e^x$，$x$軸，$y$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$S(b)=2S(a)$となる$b (b>0)$を$a$の式で表せ．
(2)$(1)$の$b$に対して，$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{b}{a}$を求めよ．

$t$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)正の実数$x$に対して定義された関数$g(x) = e^x x^{-t}$について，$g(x)$の最小値を$t$を用いて表せ．
(2)すべての正の実数$x$に対して$e^x > x^t$が成り立つための必要十分条件は，$t<e$であることを示せ．

$a<-2$とする．関数$f(x)=e^x-e^{-x}+ax$を考える．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}=0$であることを用いてよい．
(2)$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$3$点で交わることを示せ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{e}{2}x^2+\frac{e}{2}$，$C_2:y=e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$がただ一つの共有点をもつことを示せ．
(2)$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP$_1$とする．点P$_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_1(a_1,\ 0)$とする．このとき，点A$_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP$_2$とする．点P$_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_2(a_2,\ 0)$とする．このとき，点A$_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き，その接点をP$_3$とする．さらに，点P$_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_3(a_3,\ 0)$とする．このようにして，次々に$x$軸上の点A$_1(a_1,\ 0)$，A$_2(a_2,\ 0)$，A$_3(a_3,\ 0)$，$\cdots$を得る．このとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$の一般項$a_n$を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．

曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}$における接線と法線が$x$軸と交わる点を，それぞれ$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$5$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_0^\pi e^x \cos x \, dx$と$\displaystyle J=\int_0^\pi e^x \sin x \, dx$の値を求めよ．
(2)実数$a,\ b$が
\[ \int_0^\pi (a\cos x +b \sin x)^2 \, dx = 1 \]
をみたしながら動くとき
\[ \int_0^\pi (e^x-a\cos x-b \sin x)^2 \, dx \]
の最大値を求めよ．