「e^x」について
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（12ページ目：全169問中111問～120問を表示）
国立 富山大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 群馬大学 2012年 第1問$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 群馬大学 2012年 第1問$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 群馬大学 2012年 第1問$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 和歌山大学 2012年 第4問$e$を自然対数の底とし，$1 \leqq a \leqq e$とする．
\[ S=\int_0^1 x(2|e^x-a|+a) \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を求めよ．
(2)$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$2.7<e<2.8$であることを用いてよい．
\[ S=\int_0^1 x(2|e^x-a|+a) \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を求めよ．
(2)$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$2.7<e<2.8$であることを用いてよい．
国立 福岡教育大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．
(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．
私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第2問$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線
\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．
(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．
\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．
(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．
私立 明治大学 2012年 第2問次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，$e$は自然対数の底である．必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい．
関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．
(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．
関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．
(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．
私立 龍谷大学 2012年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．
(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．
私立 学習院大学 2012年 第3問$p$を定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^x-\left( 1+\frac{1}{2}x \right) (1+px) \]
と定める．
(1)$p=0$のとき，$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2)「$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$」が成り立つような定数$p$の取り得る値の範囲を求めよ．
\[ f(x)=e^x-\left( 1+\frac{1}{2}x \right) (1+px) \]
と定める．
(1)$p=0$のとき，$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2)「$x \geqq 0$ならば$f(x) \geqq 0$」が成り立つような定数$p$の取り得る値の範囲を求めよ．