「e^x」について
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私立 青山学院大学 2013年 第5問$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフは変曲点をただ$1$つもつ．この変曲点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた変曲点を通り，$y$軸に平行な直線を$\ell$とする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} S$を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフは変曲点をただ$1$つもつ．この変曲点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた変曲点を通り，$y$軸に平行な直線を$\ell$とする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} S$を求めよ．
私立 早稲田大学 2013年 第3問$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+2e^x+x$とする．次の問に答えよ．
(1)実数$t$に対して$g(x)=tx-f(x)$とおく．$x$が実数全体を動くとき，$g(x)$が最大値をもつような$t$の範囲を求めよ．また$t$がその範囲にあるとき，$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた最大値を$m(t)$とする．$a$を定数とし，$t$の関数$h(t)=at-m(t)$を考える．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$h(t)$の最大値を求めよ．
(1)実数$t$に対して$g(x)=tx-f(x)$とおく．$x$が実数全体を動くとき，$g(x)$が最大値をもつような$t$の範囲を求めよ．また$t$がその範囲にあるとき，$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた最大値を$m(t)$とする．$a$を定数とし，$t$の関数$h(t)=at-m(t)$を考える．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$h(t)$の最大値を求めよ．
公立 広島市立大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$
(2)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$
(2)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$
公立 兵庫県立大学 2013年 第3問関数$f(x)=e^x(\sin x-\cos x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)実数$s$に対して$f(x)=s$を満たす$x$の個数を$g(s)$と表す．$g(s)$を求めよ．
(3)(2)で求めた関数$g(s)$について，$t=g(s)$のグラフをかけ．
(1)$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)実数$s$に対して$f(x)=s$を満たす$x$の個数を$g(s)$と表す．$g(s)$を求めよ．
(3)(2)で求めた関数$g(s)$について，$t=g(s)$のグラフをかけ．
公立 会津大学 2013年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$
(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．
(1)次の積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$
(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．
公立 会津大学 2013年 第5問関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．
公立 名古屋市立大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \cos x \, dx$を求めよ．
(3)次の関係を満足する関数$f(x),\ g(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)=e^x \sin x+\int_0^\pi ug(u) \, du \\ \\
g(x)=e^x \cos x+\int_0^\pi uf(u) \, du
\end{array} \right. \]
(1)$\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \cos x \, dx$を求めよ．
(3)次の関係を満足する関数$f(x),\ g(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)=e^x \sin x+\int_0^\pi ug(u) \, du \\ \\
g(x)=e^x \cos x+\int_0^\pi uf(u) \, du
\end{array} \right. \]
国立 広島大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第2問$f(x)=\{ x^2+(2-e)x+1 \} e^x$とする．ここで$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(2)上で求めた極大値を$b$として，曲線$y=f(x)$と直線$y=b$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(2)上で求めた極大値を$b$として，曲線$y=f(x)$と直線$y=b$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 九州工業大学 2012年 第4問$a,\ b$を実数とし，関数$f(x)$，$g(x)$を$f(x)=a(e^x+e^{-x})$，$g(x)=4x+b$とする．曲線$C:y=f(x)$の点$(\log 3,\ f(\log 3))$における接線が直線$\ell:y=g(x)$と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．また，$\log 3 < 1.1$を用いてよい．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．