$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点，接線$\ell$と$y$軸の交点の座標をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$0 \leqq t \leqq 1$とする．このとき，$S(t)$の最大値およびそのときの$t$の値，$S(t)$の最小値およびそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$2$つの関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{1+e^x},\quad g(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \]
とする．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．
(3)$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．
\[ \int_{-a}^a xg(x) \, dx,\quad \int_{-a}^a |x| g(x) \, dx \]

関数$f(x)=e^x-x$を考える．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=1$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．