座標空間に8点
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし，3点 O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．

(1)Kの座標を$t$で表せ．
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．

座標空間において，8点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$，D$(0,\ 1,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 0)$，G$(1,\ 1,\ 1)$をとり，この8点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点P$(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，6点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\text{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\text{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積，すなわち5個の領域$Q$，$\beta_t(\text{O})$，$\beta_t(\text{D})$，$\beta_t(\text{E})$，$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき，
\[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \]
の体積を$t$で表せ．