$xyz$空間に6点$\text{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\text{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\text{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\text{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\text{P}(\alpha,\ 0,\ \beta)$，$\text{Q}(-\alpha,\ 0,\ \beta)$が与えられている．ただし，$\alpha,\ \beta$は正の実数とする．
\[ \text{PB}=\text{PC}=\text{BC} \quad \text{かつ} \quad \text{PA}=\text{PD}=\text{PQ} \]
であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(2)点P$_0(\alpha,\ 0,\ 0)$を考える．Pから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとし，Pから直線ADに下ろした垂線と直線ADとの交点をKとする．このとき，2つの三角形$\triangle$HP$_0$Pと$\triangle$PP$_0$Kが相似であることを示せ．

座標空間において，8点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$，D$(0,\ 1,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 0)$，G$(1,\ 1,\ 1)$をとり，この8点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点P$(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，6点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\text{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\text{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積，すなわち5個の領域$Q$，$\beta_t(\text{O})$，$\beta_t(\text{D})$，$\beta_t(\text{E})$，$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき，
\[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \]
の体積を$t$で表せ．

平面上に円$S$と6点A，B，C，D，E，Fがある．A，B，Cは$S$上の異なる3点で，この順番で反時計回りに並んでいる．線分ABをAの側に延長した半直線上に点Dがある．$\angle \text{CAD}$を二等分する直線$\ell$と円$S$は異なる2点で交わり，それらはAとEである．さらに，EはCを含まない$S$上の弧AB上にある．また，$\ell$は線分BCをCの側に延長した半直線と交わり，その交点がFである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)題意にしたがって，円$S$，三角形ABCおよび点D，E，Fを描け．
(2)三角形ACFと三角形AEBが相似であることを証明せよ．
(3)$\text{AB} \cdot \text{EF}=\text{EB} \cdot \text{BF}$となることを証明せよ．