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山口大学 国立 山口大学 2012年 第4問
$xy$平面において,直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$が,直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_3$,$\mathrm{Q}_4$,$\mathrm{Q}_5$が,それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる.これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け,それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える.下図はその一例である.このとき,次の問いに答えなさい.
(図は省略)

(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$,$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$,$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい.ただし,$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする.
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき,どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい.
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき,交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい.
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