$xy$平面において，直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$が，直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$，$\mathrm{Q}_4$，$\mathrm{Q}_5$が，それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる．これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け，それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える．下図はその一例である．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$，$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$，$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．

1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．

(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．

1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．

(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．

点Aを$(-2,\ 0)$，点Eを$(2,\ 0)$とする．3つの点B，C，Dは，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DE}$を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，$\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるような点Sをとる．点Sの$y$座標を$s$とする．以下の各問に答えよ．

(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．