「4点」について
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国立 神戸大学 2010年 第2問空間内に4点O，A，B，Cがあり，
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ
国立 信州大学 2010年 第1問平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たして
いる．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
いる．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
国立 信州大学 2010年 第2問平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たしている．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第4問2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
国立 福井大学 2010年 第1問座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第4問空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第1問空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第1問Oを原点とする座標空間にある，中心C$(1,\ 1,\ \sqrt{10})$，半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．
(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第1問空間内に4点O，A，B，Cがあり，$\text{OA}=\text{OB}=\sqrt{5},\ \text{OC}=1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4,\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第5問座標平面上の4点をA$(1,\ 1)$，B$(1,\ 2)$，C$(2,\ 2)$，D$(2,\ 1)$とする．点Aに駒をおき，1個のさいころを投げて，出た目の数だけこれらの点の上を時計回りに駒を進める試行を考える．たとえば，出た目が5のとき，駒はA→B→C→D→A→Bと進みBに止まる．1回目の試行で止まる点をPとし，駒を点Aに戻し，2回目の試行で止まる点をQとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，Oは原点を表す．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およびその2次関数をすべて求めよ．
(3)(2)で2次関数がただ一通りに定まるとき，その2次関数の最大値を$X$とし，そうでないとき$X=0$とする．このとき，$X$の期待値を求めよ．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およびその2次関数をすべて求めよ．
(3)(2)で2次関数がただ一通りに定まるとき，その2次関数の最大値を$X$とし，そうでないとき$X=0$とする．このとき，$X$の期待値を求めよ．