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千歳科学技術大学 私立 千歳科学技術大学 2013年 第1問
次の各問いに答えなさい.

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい.
(2)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい.
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい.
(4)$\pi$を円周率($3.14159 \cdots$)とするとき,次の無限数列の和$S$を求めなさい.

$S=3.14159\cdots$
$\qquad +0.314159\cdots$
$\qquad\qquad +0.0314159\cdots$
$\qquad\qquad\qquad +0.00314159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad +0.0003.14159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cdots\cdots$

(5)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1-x} \, dx$を求めなさい.
産業医科大学 私立 産業医科大学 2012年 第1問
空欄にあてはまる適切な数,式,記号などを記入しなさい.

(1)実数$x$に対して,$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す.例えば$[3]=3$,$[3.14]=3$,$[-3.14]=-4$である.実数$x$について,方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり,方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である.
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき,$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である.
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である.$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である.
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である.
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から,$1$つを無作為に選び出すとき,同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である.
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は,原点$\mathrm{O}$を出発して,次のルールに従って移動するとする.
「$1$つのさいころを振り,$3$以下の目が出たときは右に$1$,$5$以上の目が出たときは左に$1$,それぞれ動く.また,$4$の目が出たときは動かない.点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら,さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる.それ以外のときは,さいころをまた振る.」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の,点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2011年 第2問
下図において,北隅のAの文字から南隅のAの文字まで,南東または南西に文字をたどって最短で進むとき,経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる.このとき,次の問いに答えよ.

(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後,「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか.
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか.

\setlength\unitlength{1truecm}

(図は省略)
鳥取大学 国立 鳥取大学 2011年 第4問
下図において,北隅のAの文字から南隅のAの文字まで,南東または南西に文字をたどって最短で進むとき,経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる.このとき,次の問いに答えよ.

(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後,「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか.
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか.

\setlength\unitlength{1truecm}

(図は省略)
大分大学 国立 大分大学 2010年 第1問
円周率$\pi$に関して次の不等式が成立することを証明せよ.ただし,数値$\pi=3.141592 \cdots$を使用して直接比較する解答は0点とする.
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
中央大学 私立 中央大学 2010年 第2問
地球が半径$6378 \, \mathrm{km}$の完全な球であると仮定する.地球の中心を$\mathrm{O}$,北緯$45$度,東経$150$度の地点を$\mathrm{A}$,南緯$45$度,西経$120$度の地点を$\mathrm{B}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ.
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ地球の表面上を最短の時間で移動するときの$\mathrm{AB}$間の距離を求めよ.ただし,円周率の値は$3.14$とする.
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