座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とする．空間内に3点A$(a,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ b,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ c)$がある．

(1)辺ABを底辺とするとき，$\triangle$ABCの高さを$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\triangle$ABC，$\triangle$OAB，$\triangle$OBC，$\triangle$OCAの面積をそれぞれ$S,\ S_1,\ S_2,\ S_3$とする．ただし，Oは原点である．このとき，不等式
\[ \sqrt{3}S \geqq S_1 +S_2+S_3 \]
が成り立つことを示せ．
(3)(2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE} = t \ (0 < t < 1),\ \text{AF} =\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．

平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{q}=\frac{-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{4}$とする．また，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$であるような2点P，Qをとる．$|\overrightarrow{p}|=4,\ |\overrightarrow{q}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(3)$\triangle$OABの面積が最大になるとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(2,\ 1)$，B$(1,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$xyz$空間内の点$(t +2,\ t +2,\ t)$がつくる直線を$\ell$とする．3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$^\prime (2,\ 1,\ 0)$，B$^\prime (1,\ 2,\ 0)$を通り，中心をC$(a,\ b,\ c)$とする球面$S$が直線$\ell$と共有点をもつとき，$a,\ b,\ c$の満たす条件を求めよ．

$xy$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(1,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．

(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>1>b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

座標平面上の1点P$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$をとる．放物線$y=x^2$上の2点Q$(\alpha,\ \alpha^2)$，R$(\beta,\ \beta^2)$を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$\triangle$PQRの重心G$(X,\ Y)$の軌跡を求めよ．

$xy$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(1,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．

(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>0,\ b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

座標平面上の1点P$\displaystyle \left(\frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$をとる．放物線$y=x^2$上の2点Q$(\alpha,\ \alpha^2)$，R$(\beta,\ \beta^2)$を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$\triangle \text{PQR}$の重心G$(X,\ Y)$の軌跡を求めよ．

実数$t$に対して，放物線$y=x^2$上の3点A$(t-1,\ (t-1)^2)$，B$(t,\ t^2)$，C$(t+1,\ (t+1)^2)$を頂点とする$\triangle$ABCを考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle$ABCの外心の$x$座標を$p(t)$とおく．$p(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$p(t)$の極値を求めよ．