「3点」について
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国立 長崎大学 2012年 第3問3点$\mathrm{P}(4,\ -5)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(7,\ 4)$を通る円を$C$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．
(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第2問点$\mathrm{O}$を原点とする空間内に2点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(-1,\ a,\ b)$があり，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$かつ$\angle \mathrm{POQ}=60^\circ$が成り立っている．ただし，$a<0$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面上において，$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}(x,\ y,\ z)$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}$かつ$\angle \mathrm{POR}=60^\circ$をみたすように$x,\ y,\ z$の値を定めなさい．
(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面上において，$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}(x,\ y,\ z)$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}$かつ$\angle \mathrm{POR}=60^\circ$をみたすように$x,\ y,\ z$の値を定めなさい．
国立 福井大学 2012年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=1$であり，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{4}$であるとする．また，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$，平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{K}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{GP}+\mathrm{PC}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，点$\mathrm{P}_0$は$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にあることを示せ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{GP}+\mathrm{PC}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，点$\mathrm{P}_0$は$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にあることを示せ．
国立 福井大学 2012年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=1$であり，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{4}$であるとする．また，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$，平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表し，$\mathrm{CP}_0+\mathrm{P}_0 \mathrm{G}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表し，$\mathrm{CP}_0+\mathrm{P}_0 \mathrm{G}$の値を求めよ．
国立 福島大学 2012年 第2問座標平面上の3点$\mathrm{A}(9,\ 12)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(25,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$および，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円と外接円を考える．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円は，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$とそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E},\ \mathrm{F}$で接する．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心と点$\mathrm{A}$を通る直線は，辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{G}$で交わる．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．
(4)点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．
(1)3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．
(4)点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．
国立 東京農工大学 2012年 第2問空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ 0 \right),\quad \overrightarrow{p}=\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{3},\ 1 \right),\quad \overrightarrow{q}=(-1,\ \sqrt{3},\ 2) \]
で定める．また$\alpha=\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a},\ \beta=\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{a}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\alpha \overrightarrow{a}$とする．$\overrightarrow{b}$を成分で表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{c}=\overrightarrow{q}-\beta \overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2} \overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対して，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ 0 \right),\quad \overrightarrow{p}=\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{3},\ 1 \right),\quad \overrightarrow{q}=(-1,\ \sqrt{3},\ 2) \]
で定める．また$\alpha=\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a},\ \beta=\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{a}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\alpha \overrightarrow{a}$とする．$\overrightarrow{b}$を成分で表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{c}=\overrightarrow{q}-\beta \overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2} \overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$に対して，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
国立 福井大学 2012年 第3問$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$をみたす実数とし，座標空間内に点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ \sqrt{3-t^2})$をとる．$\mathrm{P}$を通り$yz$平面に平行な平面を$\beta$とおく．3点$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{E}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{F}(-\sqrt{3},\ 0,\ 0)$に対し，$\beta$と直線$\mathrm{FD}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\beta$と直線$\mathrm{FE}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$S(\sqrt{3})=0$とする．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 福井大学 2012年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=1$であり，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{4}$であるとする．また，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$，平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表し，$\mathrm{CP}_0+\mathrm{P}_0 \mathrm{G}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表し，$\mathrm{CP}_0+\mathrm{P}_0 \mathrm{G}$の値を求めよ．
公立 大阪市立大学 2012年 第2問実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．
(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．
公立 首都大学東京 2012年 第2問原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．