$\alpha>1,\ x>0$とする．Oを原点とする座標平面上に3点A$(0,\ 1)$，B$(0,\ \alpha)$，P$(\sqrt{x},\ 0)$がある．次に答えよ．

(1)$\sin \angle \text{OPB}$と$\sin \angle \text{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．
(2)$\sin \angle \text{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた最大値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる$\alpha$を求めよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．

2次の正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P$(x_1,\ y_1)$，Q$(x_2,\ y_2)$があって，次の2つの条件を満たす．

条件1：1次変換$f$により，点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る．
条件2：合成変換$f \circ f$により，点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る．


(1)行列$A^3$で表される1次変換により，点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に，点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ．
(3)$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

座標平面上の3点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$について，$\angle \mathrm{PAB}=3 \angle \mathrm{POB}$となる$y>0$の領域にある点$\mathrm{P}$を考える．$r=\mathrm{OP}$，$\theta=\angle \mathrm{POB}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$r$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}r$を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$で表すとき，$y$を$x$の式で表せ．