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埼玉大学 国立 埼玉大学 2013年 第4問
次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
(図は省略)
次の問いに答えよ.

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ.
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ.
埼玉大学 国立 埼玉大学 2013年 第4問
次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
(図は省略)
次の問いに答えよ.

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ.
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2013年 第1問
正の実数$a,\ b,\ c$に対して,$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に3点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$がある.$\mathrm{AC}=2,\ \mathrm{BC}=3$かつ$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$となるとき,次の問いに答えよ.

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ.また,線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ.
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.また,原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2012年 第3問
$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 1)$,B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある.平面$z=0$に含まれ,中心がO,半径が1の円を$W$とする.点Pが線分OA上を,点Qが円$W$の周および内部を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく.同様に点Pが線分OB上を,点Qが円$W$の周および内部を動くとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく.さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2)立体$V$の体積を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2012年 第4問
$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする.原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A,B,Cが条件
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする.次の問いに答えよ.

(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ.
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2012年 第2問
実数$c$に対して,行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ.
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P,Q,Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$,Q$^\prime$,R$^\prime$に移るとする.三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ.
(3)$c=2$とする.楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする.$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し,$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2012年 第2問
実数$c$に対して,行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P,Q,Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$,Q$^\prime$,R$^\prime$に移るとする.三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ.
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする.楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための,$c$の条件を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2012年 第4問
一辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体OABCにおいて,辺ABの中点をM,辺BCを$1:2$に内分する点をN,辺OCの中点をLとする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.以下の問いに答えよ.

(1)3点L,M,Nを通る平面と直線OAの交点をDとする.$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)辺OBの中点Kから直線DN上の点Pへ垂線KPを引く.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
東京医科歯科大学 国立 東京医科歯科大学 2012年 第2問
$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を$S$とする.$S$に含まれる$(a,\ b)$に対し,$xyz$空間内に3点P$(a,\ b,\ b)$,Q$(-a,\ b,\ b)$,R$(0,\ 0,\ b)$をとる.また原点をOとする.このとき以下の各問いに答えよ.

(1)三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする.$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき,$F_1$の体積の最大値を求めよ.
(2)三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする.$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき,$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ.
(3)三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする.$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき,$F_3$の体積の最大値を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2012年 第2問
座標空間内に3点A$(2,\ 2,\ 0)$,B$(0,\ 2,\ 2)$,C$(2,\ 0,\ 2)$がある.次の問いに答えよ.

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ.ただし,$0^\circ < \theta < 180^\circ$とする.
(2)$\triangle$ABCの面積を求めよ.
(3)原点Oから平面ABCに垂線をおろし,平面ABCとの交点をHとする.点Hは平面ABC上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ (r+s+t=1)$と表すことができる.このとき,$r,\ s,\ t$を求めよ.
(4)四面体OABCの体積を求めよ.
(5)球$P$が四面体OABCのすべての面に接している.このとき,球$P$の半径を求めよ.
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