2次正方行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$のうち，次の3条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすもの全体の集合を$M$とする．

(i) $a,\ b,\ c,\ d$はすべて整数
(ii) $b+c=0$
(iii) $a-b-d=0$

また$E$を2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A,\ B$がともに$M$の要素であるとき，それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．
(3)行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ．
(4)自然数$n$について，$M$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする．$S_n$の要素の個数がちょうど3となる$n$をすべて求めよ．

実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．

$a$を1より大きい実数とし，座標平面上に，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$をとる．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$と，曲線$\displaystyle y=\frac{a}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{a}{q} \right)$が，3条件

(1)$p>0,\ q>0$
(2)$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は3に等しい

をみたしながら動くとき，$\tan \angle \mathrm{POQ}$の最大値が$\displaystyle \frac{3}{4}$となるような$a$の値を求めよ．