$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y=x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y = x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

$f(x)=x^3-3x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,\ 2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．
(3)点$(2,\ t)$から曲線$y=f(x)$に3本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．

$xy$平面において，直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$が，直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$，$\mathrm{Q}_4$，$\mathrm{Q}_5$が，それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる．これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け，それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える．下図はその一例である．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$，$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$，$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．

点$(a,\ b)$を通り曲線$y=x^3-x$に接するような異なる3本の直線が存在するための実数$a,\ b$が満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

次の定理を証明せよ．

「三角形の3本の中線は1点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分される．」