平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．

(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．

関数$f(x)=x^2-x-2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる2つの共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる3つの共有点をもつとき，これらにより囲まれる2つの部分の面積の和$S$を$m$で表せ．
(4)$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めよ．

大，中，小の3つのサイコロを投げたときに出る目を，それぞれ$X,\ Y,\ Z$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = \frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = 2$となる確率を求めよ．

定数$a,\ b$に対し，3つの数$a,\ -2a,\ b$はこの順序で等比数列をなす．また，適当に並べかえると初項が1，公差が$d$の等差数列になる．このとき，$a,\ b,\ d$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．

\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．

(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．

平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．

(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．

$a>1$を定数とする．3つの放物線$\displaystyle y=x^2,\ y=\frac{1}{2}x^2,\ y=ax^2$の$x \geqq 0$の部分をそれぞれ，$C,\ C_1,\ C_2$とする．$C$上の点Pから$x$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_1$で囲まれた領域を$D_1$とする．Pから$y$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_2$で囲まれた領域を$D_2$とする．

(1)領域$D_1,\ D_2$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とする．点Pのとり方によらず常に$S_1=S_2$となるような$a$の値を求めよ．
(2)領域$D_1,\ D_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．点Pのとり方によらず常に$V_1=V_2$となるような$a$の値を求めよ．

$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．

$a$を実数とする．3つの放物線$y = 4x^2,\ y = 2x^2 +2,\ y = (x-a)^2$のうち少なくとも
2つの上にある点の個数を$m$とする．

(1)$a=1$のとき$m$の値を求めよ．
(2)$a=3$のとき$m$の値を求めよ．
(3)$1<a<3$のとき$m$の値を求めよ．

3つの曲線
\begin{eqnarray}
& & C_1 : y = \sin x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_2 : y = \cos x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_3 : y = \tan x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
について以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点，$C_2$と$C_3$の交点，$C_3$と$C_1$の交点のそれぞれについて$y$座標を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2,\ C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．