$a$を実数とし，$x>0$で定義された関数$f(x),\ g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x} \\
g(x)=\sin x+ax
\end{array} \]
このとき$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$x>0$において共有点をちょうど3つ持つような$a$をすべて求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta -4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)方程式$f(\theta) = k$が相異なる3つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

$n$を自然数とし，3つの不等式$\displaystyle y \leqq -\frac{x}{n}+2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．

$n$を自然数とし，縦が3，横が$2n$の長方形の盤上全体を，隣り合う2辺の長さが1と2の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき，その敷きつめ方の場合の数を$a_n$とする．そのうち左端に3つのタイルが接している場合の敷きつめ方の場合の数を$x_n$とし，それ以外の敷きつめ方の場合の数を$y_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対して，$m$以上$m+n$以下の自然数の和を$m,\ n$の式で表しなさい．
(2)12は，$12=3+4+5$と連続する3つの自然数の和として表すことができる．88を連続する2つ以上の自然数の和として表しなさい．

$xyz$空間内に四面体$\mathrm{PABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$は$xy$平面内にある鋭角三角形とし，頂点$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとする．$\mathrm{H}$から直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{HK}_1$，$\mathrm{HK}_2$，$\mathrm{HK}_3$とする．そのとき$\mathrm{PK}_1 \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{PK}_2 \perp \mathrm{BC}$，$\mathrm{PK}_3 \perp \mathrm{CA}$である．$\angle \mathrm{PK}_1 \mathrm{H}=\alpha_1$，$\angle \mathrm{PK}_2 \mathrm{H}=\alpha_2$，$\angle \mathrm{PK}_3 \mathrm{H}=\alpha_3$とし，$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とする．

(1)$\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ．
(2)3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$は，大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり，向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$，平面$\mathrm{PBC}$，平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする．ただし，$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする．このとき，$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ．
(3)3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を，$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

連続する3つの自然数$n,\ n+1,\ n+2$について考える．\\
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=245$となるとき，$n$の値を求めよ．