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国立 茨城大学 2014年 第3問放物線$y=x^2$を$C$として，$C$上に点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$をとる．正の実数$a$に対して，点$\mathrm{B}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$とする．また，$C$と$\ell_1$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の$x \geqq 0$の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．
(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．
(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．
(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．
(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．
(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．
(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．
(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．
国立 防衛医科大学校 2011年 第4問数列
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<\log_e8<2.1$，$2.1<\log_e9<2.2$，$2.30<\log_e10<2.31$である．
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について，以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする．このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか．ただし，$2.0<\log_e8<2.1$，$2.1<\log_e9<2.2$，$2.30<\log_e10<2.31$である．
国立 小樽商科大学 2010年 第1問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[ ]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[ ]．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[ ]$．
(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[ ]．
(2)下図において，地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[ ]．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき，自然数$n$を求めると$n=[ ]$．