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茨城大学 国立 茨城大学 2014年 第3問
放物線$y=x^2$を$C$として,$C$上に点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$をとる.正の実数$a$に対して,点$\mathrm{B}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$とする.また,$C$と$\ell_1$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_1$とし,$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の$x \geqq 0$の部分の面積を$S_2$とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ.
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする.この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり,$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は,
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である.また,$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする.このとき,
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり,さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると,$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる.
(2)赤玉$3$個,白玉$4$個,青玉$5$個が入っている袋から,玉を同時に$4$個取り出すとき,次の確率を求めよ.

(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である.

(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は,$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である.

(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は,$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である.
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は,$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である.

(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める.ただし,$e$は自然対数の底であり,$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す.
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると,
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である.関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると,座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり,その交点の$x$座標は$-[ヒ]$,$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$,$[ホ]$である.また,
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから,曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると,
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ.
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ.
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ.
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が,一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている.このとき,$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ.なお,円周率は$\pi$とする.
防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2011年 第4問
数列
{\scriptsize
\[ 1^{0.01},\ 2^{0.02},\ 2^{0.02},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 3^{0.03},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 4^{0.04},\ 5^{0.05},\ \cdots,\ (n-1)^{\frac{n-1}{100}},\ \underbrace<30,0>{n^{\frac{n}{100}},\ \cdots,\ n^{\frac{n}{100}}}_{n個},\ (n+1)^{\frac{n+1}{100}},\ \cdots \]
}
について,以下の問に答えよ.ただし,$e$は自然対数の底である.

(1)第36項はいくらか.
(2)不定積分$\displaystyle \int x^2 \log_ex \, dx$を求めよ.
(3)第1項から第36項までのすべての項の積を$A$とする.このとき$A$の整数部分の桁数はいくらか.ただし,$2.0<\log_e8<2.1$,$2.1<\log_e9<2.2$,$2.30<\log_e10<2.31$である.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2010年 第1問
次の[ ]の中を適当に補いなさい.

(1)不等式$4 \log_{\frac{1}{4}}(x-4)+\log_2(x-2)>0$を解くと[ ].
(2)下図において,地点Aから地点Bへの最短経路の総数は[ ].
\setlength\unitlength{1truecm}

(図は省略)

(3)$2010!=2^nm \ (m \text{は奇数})$のとき,自然数$n$を求めると$n=[ ]$.
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