「2次関数」について
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国立 京都大学 2016年 第6問複素数を係数とする$2$次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し，次の条件を考える．
\mon[（イ）] $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる．
\mon[（ロ）] $f(x)$の係数$a,\ b$の少なくとも一方は虚数である．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$2$次式をすべて求めよ．
\mon[（イ）] $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる．
\mon[（ロ）] $f(x)$の係数$a,\ b$の少なくとも一方は虚数である．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$2$次式をすべて求めよ．
国立 東京大学 2016年 第3問座標平面上の$2$つの放物線
$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$
が点$(-1,\ 1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．
(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．
$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$
が点$(-1,\ 1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．
(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．
国立 滋賀大学 2016年 第1問$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
国立 山形大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
国立 山形大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第1問$k$を実数とする．$xy$平面の曲線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を持つとする．ただし点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第4問$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
国立 福島大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．