「2次方程式」について
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国立 静岡大学 2010年 第1問$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第1問$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第2問$a,\ b,\ c$を9以下の自然数とし，2次式$f(x)=ax^2-bx+c$を考える．このとき，$f(x)$が次の条件を満たすような組$(a,\ b,\ c)$はそれぞれ何通りあるか．
(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．
(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．
国立 信州大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次方程式$x^2 + (2a-1)x+a^2-3a-4 = 0$が少なくとも1つ正の解をもつような実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)不等式$|2 \sin (x+y)| \geqq 1$の表す点$(x,\ y)$の領域を，$0 \leqq x \leqq \pi,\ 0 \leqq y \leqq \pi$の範囲で図示せよ．
(3)座標平面上に3点A$(2,\ 5)$，B$(1,\ 3)$，P$_1(5,\ 1)$をとる．まず，点P$_1$と点Aの中点をQ$_1$，点Q$_1$と点Bの中点をP$_2$とする．次に，点 P$_2$と点Aの中点をQ$_2$，点Q$_2$と点Bの中点をP$_3$とする．以下同様に繰り返し，点P$_n$と点Aの中点をQ$_n$，点Q$_n$と点Bの中点をP$_{n+1} \ (n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．点P$_n$の$x$座標を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
(1)2次方程式$x^2 + (2a-1)x+a^2-3a-4 = 0$が少なくとも1つ正の解をもつような実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)不等式$|2 \sin (x+y)| \geqq 1$の表す点$(x,\ y)$の領域を，$0 \leqq x \leqq \pi,\ 0 \leqq y \leqq \pi$の範囲で図示せよ．
(3)座標平面上に3点A$(2,\ 5)$，B$(1,\ 3)$，P$_1(5,\ 1)$をとる．まず，点P$_1$と点Aの中点をQ$_1$，点Q$_1$と点Bの中点をP$_2$とする．次に，点 P$_2$と点Aの中点をQ$_2$，点Q$_2$と点Bの中点をP$_3$とする．以下同様に繰り返し，点P$_n$と点Aの中点をQ$_n$，点Q$_n$と点Bの中点をP$_{n+1} \ (n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．点P$_n$の$x$座標を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第4問実数$a,\ b$は等式
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．
(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．
(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\sqrt{2}=1.41421,\ \sqrt{3}=1.73205,\ \sqrt{6}=2.44949$として$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$の値を，小数第5位以下を切り捨てて，小数第4位まで求めよ．
(2)2次方程式$x^2-4mx+m+3=0$が重解をもつとき，$m$の値を求めよ．
(3)$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=5,\ \text{BC}=7,\ \text{CA}=8$であるとき，$\angle \text{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 奈良女子大学 2010年 第5問$k$を実数とする．$f(x)=(x-k)^2+k^2-k-1$について以下の問いに答えよ．
(1)$k$の値によらず$f(3)>0$となることを示せ．
(2)2次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(n)<0$をみたす正の整数$n$がただ一つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$k$の値によらず$f(3)>0$となることを示せ．
(2)2次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(n)<0$をみたす正の整数$n$がただ一つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．