放物線$y=(x-1)^2+q \ (q>0)$のグラフに，原点$\mathrm{O}$から引いた2本の接線が互いに垂直に交わっているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$q$の値を求めよ．
(2)2本の接線と放物線とで囲まれる図形の面積を$S_1$とする．また，2本の接線と放物線との接点を点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする．

(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

座標平面上に，だ円$C:2x^2+y^2=1$と点P$(t,\ \sqrt{2}t) (t>0)$がある．点Pが$C$の外側にあるとして，Pから$C$へ接線を2本ひく．2つの接点を$\text{T}_1,\ \text{T}_2$とおき，$\theta = \angle \text{T}_1\text{PT}_2$とおく．次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\theta$を求めよ．
(2)2つの接線の傾きを$m_1,\ m_2$とするとき，$m_1+m_2,\ m_1m_2$を$t$で表せ．
(3)$\cos \theta$を$t$で表せ．

3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$x=\alpha$で極大値を，$x=\beta$で極小値を持ち，$f(\alpha)-f(\beta)=4$とする．

\mon[(i)] $\beta-\alpha$を$a,\ b$の式で表せ．
\mon[(ii)] $a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)曲線$y=f(x)$に点$(0,\ 8)$から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．

\mon[(i)] $x=t$における接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)] $a$の値を求めよ．

(3)(1)，(2)がともに成り立つとき，2本の接線をそれぞれ求めよ．
(4)(3)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径1の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=2$上の点$\mathrm{P}(t,\ 2)$から円$C$に2本の接線を引き，その接点を$\mathrm{M},\ \mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{OP}$と弦$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は実数とする．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$P$は正$n$角形$(n \geqq 6)$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(2)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点以外の点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(3)$P$の異なる2本の対角線の組で，共有点を持たないものは何通りあるか求めなさい．

$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．