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東北大学 国立 東北大学 2013年 第3問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の2人が,サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う.自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を勝ちとし,その時点でゲームを終了する.$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{B}$がちょうど1回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ.
(2)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ.
(3)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて,その時点でゲームが終了していない確率を求めよ.
一橋大学 国立 一橋大学 2011年 第5問
AとBの2人が,1個のサイコロを次の手順により投げ合う.\\
\quad 1回目はAが投げる.\\
\quad $1,\ 2,\ 3$の目が出たら,次の回には同じ人が投げる.\\
\quad $4,\ 5$の目が出たら,次の回には別の人が投げる.\\
\quad 6の目が出たら,投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない.

(1)$n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ.
(2)ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ.
(3)$n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率$q_n$を求めよ.
大阪教育大学 国立 大阪教育大学 2011年 第4問
次のようなゲームを考える.成功の確率が$p \ (0<p<1)$,失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い,先に成功した方を勝ちとする.なお,Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき,ゲームはAに有利であるといい,Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき,ゲームは公平であるという.このとき,次の問に答えよ.

(1)Aから始めて,以後交互に試行を行う.すなわち,ABABAB$\cdots$という順で試行を行う.このとき,$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ.
(2)Aから始めるが,Aが1回に対して,Bは2回試行を行えるとする.すなわち,ABBABB$\cdots$という順で試行を行う.$p$がどのような値のとき,ゲームは公平になるか.
(3)(2)において,ゲームが公平であるとき,$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ.
広島大学 国立 広島大学 2010年 第4問
$n$は2以上の自然数とする.袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている.この袋から無作為に玉を1個取り出し,それに書かれている数を自分の得点としたのち,取り出した玉を袋に戻す.この試行を A,B,Cの3人が順に行い,3人の中で最大の得点の人を勝者とする.たとえば,A,B,Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり,3人とも同じ得点のときはA,B,Cの3人とも勝者である.勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ.
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ.
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ.
広島大学 国立 広島大学 2010年 第4問
$n$は2以上の自然数とする.袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている.この袋から無作為に玉を1個取り出し,それに書かれている数を自分の得点としたのち,取り出した玉を袋に戻す.この試行を A,B,Cの3人が順に行い,3人の中で最大の得点の人を勝者とする.たとえば,A,B,Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり,3人とも同じ得点のときはA,B,Cの3人とも勝者である.勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ.
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ.
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ.
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2010年 第6問
A,B,C,D,E,F,G,Hの8人を2人ずつ4部屋に分けることにする.部屋は1階の11号室と12号室,2階の21号室と22号室の4つである.この8人で部屋割り表を作る.次の問いに答えよ.

(1)全部で何通りの部屋割り表を作ることができるか.
(2)(1)の部屋割り表の中で,AとBが同じ部屋になる組み合わせは何通りあるか.
(3)8人で公平にくじを引き,部屋を決める.その結果,AとBが異なる階の部屋に分かれる確率を求めよ.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2010年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)2人乗りの車を持っているA君は,B君,C君とP地点からQ地点へ出かけることにした.B君はA君の車に乗り,C君は歩くこととし,3人同時にP地点を出発した.しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし,A君はC君を迎えに引き返し,C君を乗せてQ地点へ向かうと,ちょうどQ地点でB君と一緒になった.車の速さはつねに毎時$v\;$kmで,歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする.乗り降りに要する時間は無視する.

(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ.
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか,その割合を求めよ.

(4)2人乗りの車を持っているA君は,B$_1$君,B$_2$君,$\cdots$,B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした.最初B$_1$君はA君の車に乗り,残りの$(n-1)$人は歩くこととし,全員同時にP地点を出発した.しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし,A君はB$_2$君を迎えに引き返し,B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう.途中,歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし,B$_3$君を迎えに引き返す.これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと,ちょうどQ地点で全員が一緒になった.車の速さはつねに毎時$v\;$kmで,歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする.乗り降りに要する時間は無視する.「$n$は,2以上の整数とする.」

(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ.
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか,その割合を求めよ.
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「2人」とは・・・

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