$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$において，初めの$k$項の和を$T_1$，次の$k$項の和を$T_2$，その次の$k$項の和を$T_3$とし，以下同様に$T_4,\ T_5,\ \cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする．$T_1=5$，$T_2=80$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2)$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ．

$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$2$人が$n$個（$n \geqq 2$）の計画案から$1$つを選び出す．これに要する時間$T_n$は，
\[ T_n=a+b \log_2 (n+1) \]
で表される．ただし，$a,\ b$は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とで異なる定数である．$\log_23=1.585$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が$2$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_2=850$秒，$3$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_3=1016$秒であった．$\mathrm{P}$の定数$a,\ b$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$5$個の計画案から$1$つを選び出すときに要する時間を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の定数は$a=300$，$b=360$である．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がそれぞれ$8$個の計画案から$1$つを選び出すとき，どちらが何秒早く選び出すことができるか．

下図のように，$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$がある．正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし，$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする．

（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$）
（図は省略）
(1)$a_n$の一般項を求めよ．
(2)$S_n$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

$2$つの放物線$y=x^2$および$y^2=8x$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$2$つの放物線の共有点を求めよ．
(2)$2$つの放物線によって囲まれた部分を$S$とする．$S$の面積を求めよ．
(3)$S$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

曲線$C$を$y^2-4y-8x+20=0$とする．

(1)曲線$y^2=8x$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して曲線$C$が得られるように，$a,\ b$の値を定めよ．
(2)点$(0,\ t)$を通り，傾きが$\displaystyle \frac{1}{m}$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C$が接するとき，$m$の満たす2次方程式を求めよ．
(3)点$(0,\ t)$から曲線$C$に引いた2本の接線は，$t$の値によらず垂直であることを示せ．

直線$\ell:y=x$上を動く点Pと，Pで$\ell$と接する円$C_1$を考える．Pの座標を$(t,\ t)$，$C_1$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし$t>0,\ a>b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)以下の(i)，(ii)に答えよ．

\mon[(i)] $a+b$を$t$を用いて表せ．
\mon[(ii)] $C_1$の半径を$a,\ b$を用いて表せ．

(2)中心が$(1,\ -1)$の円$C_2$も$\ell$と接しているとする．$C_1$が，さらに$C_2$に接しているとする．以下の(i)，(ii)に答えよ．

\mon[(i)] $(a+b)^2=8(a-b)$を示せ．
\mon[(ii)] $b$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

$x-y=2,\ x^2+y^2=8$であるとき，次の値を求めよ．ただし，$x>0$とする．

(1)$xy=[　]$
(2)$x+y=[　]$