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群馬大学 国立 群馬大学 2014年 第2問
$k$を自然数とする.数列$\{a_n\}$において,初めの$k$項の和を$T_1$,次の$k$項の和を$T_2$,その次の$k$項の和を$T_3$とし,以下同様に$T_4,\ T_5,\ \cdots$を定めるとき,次の問いに答えよ.

(1)$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする.$T_1=5$,$T_2=80$のとき,$\{a_n\}$の一般項を求めよ.ただし,公比は実数とする.
(2)$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ.
成城大学 私立 成城大学 2014年 第1問
$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$2$人が$n$個($n \geqq 2$)の計画案から$1$つを選び出す.これに要する時間$T_n$は,
\[ T_n=a+b \log_2 (n+1) \]
で表される.ただし,$a,\ b$は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とで異なる定数である.$\log_23=1.585$として,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{P}$が$2$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_2=850$秒,$3$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_3=1016$秒であった.$\mathrm{P}$の定数$a,\ b$を求めよ.
(2)$\mathrm{P}$が$5$個の計画案から$1$つを選び出すときに要する時間を求めよ.
(3)$\mathrm{Q}$の定数は$a=300$,$b=360$である.$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がそれぞれ$8$個の計画案から$1$つを選び出すとき,どちらが何秒早く選び出すことができるか.
群馬大学 国立 群馬大学 2013年 第6問
下図のように,$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$,$A_2$,$A_3$,$\cdots$がある.正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし,$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする.

(例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$)
(図は省略)
(1)$a_n$の一般項を求めよ.
(2)$S_n$の一般項を求めよ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を,ある関数の定積分を用いて表し,この極限値を求めよ.
埼玉大学 国立 埼玉大学 2011年 第1問
$2$つの放物線$y=x^2$および$y^2=8x$を考える.次の問いに答えよ.

(1)$2$つの放物線の共有点を求めよ.
(2)$2$つの放物線によって囲まれた部分を$S$とする.$S$の面積を求めよ.
(3)$S$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2011年 第3問
曲線$C$を$y^2-4y-8x+20=0$とする.

(1)曲線$y^2=8x$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$b$だけ平行移動して曲線$C$が得られるように,$a,\ b$の値を定めよ.
(2)点$(0,\ t)$を通り,傾きが$\displaystyle \frac{1}{m}$の直線を$\ell$とする.直線$\ell$と曲線$C$が接するとき,$m$の満たす2次方程式を求めよ.
(3)点$(0,\ t)$から曲線$C$に引いた2本の接線は,$t$の値によらず垂直であることを示せ.
奈良女子大学 国立 奈良女子大学 2011年 第6問
直線$\ell:y=x$上を動く点Pと,Pで$\ell$と接する円$C_1$を考える.Pの座標を$(t,\ t)$,$C_1$の中心の座標を$(a,\ b)$とする.ただし$t>0,\ a>b$とする.以下の問いに答えよ.

(1)以下の(i),(ii)に答えよ.

\mon[(i)] $a+b$を$t$を用いて表せ.
\mon[(ii)] $C_1$の半径を$a,\ b$を用いて表せ.

(2)中心が$(1,\ -1)$の円$C_2$も$\ell$と接しているとする.$C_1$が,さらに$C_2$に接しているとする.以下の(i),(ii)に答えよ.

\mon[(i)] $(a+b)^2=8(a-b)$を示せ.
\mon[(ii)] $b$の最大値を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2010年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$,$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し,線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる.また,平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$,$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$,$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$,$(2,\ [ウ])$,$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり,この三角形の面積は$[カ]$である.
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,点$\mathrm{O}$を定点として,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く.

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに,点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である.
北海道科学大学 私立 北海道科学大学 2010年 第1問
$x-y=2,\ x^2+y^2=8$であるとき,次の値を求めよ.ただし,$x>0$とする.

(1)$xy=[ ]$
(2)$x+y=[ ]$
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「2=8」とは・・・

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